GRAFICAR LA SOLUCION PARTICULAR

Y´´-2y´-8y=0

Cuando y (0)=1

                Y´ (0)=2

1.- Convertir a ecuación polinómica

m² – 2m – 8 = 0 

2.- Sacar el valor de a, b y c requeridos en la formula general

a = 1 b = - 2 c = - 8

3.- Incluirlos en la formula cuadrática

X = (- b ± √ b² – 4 ac) / 2a

X = - ((- 2) ± √ (-2)² – 4 (1) (-8)) / 2(1)

4.- Dar solución a la formula

X = (2 ± 6) / 2

5.- Dando en X₁  y  X₂

X₁ =  (2 + 6) / 2 = 4

X2 = (2 - 6) / 2 = -2

6.- Se sustituye en la ecuación según el caso 1,2 y 3 de las E.D.L.H.

Y = C₁ e^4X + C₂ e^-2X solución general

7.- Con la solución general se sustituye el primer valor que sería: y (0)=1

1 = C₁ e⁴⁽⁰⁾ + C₂ e^-2(0)

 

1 = C₁ + C₂

C_{1 =}  1 - C₂ resultado 1

8.- Se continua a derivar la solución general y se resuelve con: y (0)=2

Y´ = 4C₁ e^4X + 2C₂ e^-2X

2 = 4C₁ e⁴⁽⁰⁾ + 2C₂ e^-2(0)

2 = 4C₁ + 2C₂

C₁ = (2 + 2C₂) / 4

C₁ = (1 + 1C₂) / 2   Resultado 2

9.- Se procede a despejar a C₁ de ambos resultados

(C₁ + C₂ = 1) 4

(4C₁  - 2C₂ = 2) - 1 

(4C₁ + 4C₂ = 4)

  

( - 4C₁ + 2C₂ = - 2) 

                

6 C₂ = 2

C₂ = 2/6 = 1/3 

10.- Con este resultado respondemos el primer resultado de C₁

C₁ = 1 – C₂ 

C₁ = 1 – C₂ = 1/3 = 2/3

 

11.- Sustituimos los resultados de C en la solución general para sacar la solución particular

Y = 2/3 e^4X + 1/3 e^-2X  solución particular

12.- Se tabula y grafica sustituyendo a x según sea el caso.

x	Y = 2/3 e4X + 1/3 e-2X
-3	134.47
-2	18.19
-1	2.47
0	1
1	36.44
2	1987.41
3	108 503.19

		120 mil
		100mil
		80mil
		60mil
		40mil
-3		20mil			3

DEPENDENCIA LINEAL

La dependencia lineal de 2 o más funciones se calcula mediante “wroskiano” de las funciones que se encuentra mediante la determinante de las funciones.

Cuando el Wroskiano es:

w = 0 las funciones son linealmente dependientes

w ≠ 0 las funciones son linealmente independientes

Ejercicio:

y₁ = X    y₂ = X²   y₃ = 4X – 3X²  

1.- Ordenamos los datos en fila

W = x      X²       4X – 3X²

2.- Se deriva cada dato 2 veces para tener el mismo número de columnas y filas

x	X2	4X – 3X2
1	2x	4-6x
0	2	-6

3.- Se repiten las 2 primeras filas en la parte de abajo

x	X2	4X – 3X2
1	2x	4-6x
0	2	-6

x	X2	4X – 3X2
1	2x	4-6x

4.- Se multiplica cruzado de 3 en 3 empezando de la parte superior izquierda  a la inferior derecha en diagonal 3 veces y los resultados se suman luego se restan con los resultados de hacer el mismo proceso pero ahora de abajo hacia arriba

 De arriba hacia abajo 

x	X2	4X – 3X2
1	2x	4-6x
0	2	-6
x	X2	4X – 3X2
1	2x	4-6x

  

                            

5.- De abajo hacia arriba

x	X2	4X – 3X2
1	2x	4-6x
0	2	-6
x	X2	4X – 3X2
1	2x	4-6x

  

6.- Dando como resultado después de sumar y restar cada lado

(-12X² + 8x - X² + 0) – ( - X² + 8x - 12X²)

7.- Se suma y restan los valores y nos dará W=0 por lo que es las funciones son linealmente dependientes.