CIRCUITOS EN SERIE LR

Los circuitos eléctricos conectados en serie la corriente que circula en ellos se comporta en forma análoga a una ecuación diferencial lineal.

Ejercicio:

Un circuito LR cuenta con un voltaje de 12 volts y una inductancia de ½ Henry, indique la corriente en función del tiempo si inicialmente se encontraba apagado con una resistencia de 10 Ω (ohms).

E= 12v

L= 1/2 henry

R= 10 Ω

[1/2 di/dt + 10i = 12] 2

di/dT + 20i = 24

M = e^∫20dx = e^20x

e^20x di/dt + 20ie^20x = 24e^20x

v=20x

dv=20dx

∫d/dx ie^20x = 1/20 ∫24e^20x+c

i*e^20x = 6/5 e^20x +c

i = (6/5 e^20x + c) / e^20x = 6/5 + c/ e^20x

i = 6/5 + Ce^20x

Solución particular para cuando la corriente está apagada

Inicio=apagado

1₀ = 0

0 = 6/5 + Ce^20x

C = - 6/5 + Ce²⁰⁽⁰⁾

X= 0

C = - 6/5

i= 6/5 -6/5 * e^20x      solución particular

x=tiempo transcurrido.

ECUACIONES DE BERNOULLI

Una ecuación diferencial de Bernoulli se resuelve mediante la sustitución de un factor “w” que es el inverso de la variable dependiente una ecuación diferencial de Bernoulli se conforma con la siguiente estructura:

                                                                              dy/dx + p(x) y = q (x) yⁿ 

Siendo n un exponente no una derivada

Para su resolución se debe convertir la ecuación en una ecuación lineal modificando la variable dependiente al sustituir la siguiente expresión.

                                                                   dw/dx + (1 - n)  p (x) w = (1 - n) q (x)  

Para representar el resultado se debe sustituir nuevamente el valor del factor “w” encontrando así la ecuación general.

Ejercicio:

Grafique la ecuación particular cuando y (1)=3 y cuando pasa por el punto  (2,2) de la ecuación.

Y´+ y / x = Xy²

   

Y´+ y / x = Xy²

N=2

1-n=-1

Se sustituyen los valores y se resuelve la operación

dw/dx + (-1) (1 / x) w = -1x 

dw/dx - 1/x w = -X

Se saca a M

M = e^∫p(x)dx = e^-lnX = X^-1 = 1/x

x^-1 dw/dx – x^-1 w (1/x) = -X * X^-1 = -x/x = -1 

Se integran ambas partes

∫d/dx w * x^-1 = ∫ -1dx  

w * x^-1 = - x + c   

W = -x + c / x-1

W = -x / x-1 + c / x-1 = -x/-x2 + cx

W = -x2+cx

1/y = -x2+cx

Y = 1/-x2+cx            solución general

Solución particular:

Y (1)=3

C=(1/y + x2) /x = (1/3 + (1)2) /1 = 4/3

C=4/3

Y=1/(x2 + 4/3x)     solución particular

Graficar

x	Y=1/(x2 + 4/3x)
-3	-1/3
-2	- 3/20
-1	- 3/7
0	Ind
1	3
2	- 3/4
3	- 1/5

		3
					3
-3
			-3

ECUACIONES DIFERENCIALES HOMOGENIAS

Caso 1: Cuando las raíces son reales

Se sustituyen los valores de las raíces de manera directa en el exponente de la función, matemáticamente se expresa de la siguiente manera:

y = C₁ e^m1X + C₂e^m2X

Ejercicio:                                     

 

2y’’ – 5y’ – 3 y = 0

Convertir a ecuación polinómica

2m² – 5m – 3 y = 0

Se dan los valores de a, b y c de la formula cuadrática

a= 2       b= -5     c= -3

Se resuelve la formula cuadrática con los valores

X = - ((-5) ± √ (-5)² – 4 (2) (-3)) / 2 (2)

X = (5 ± 7) / 4

Se resuelven las dos X´s

X₁ = (5 +7) / 4 = 3

X₁ = (5 - 7) / 4 = -1/2

Se sustituye en la fórmula del caso 1:

Y = C₁ e^3x + C₂e^{-1/2 X}             Solución general

Caso 2: Cuando las raíces son iguales (m1 = m2)

En este caso se repite la raíz en cada potencia y se incrementa una variable independiente en cada término.

y = y = C₁ e^m1X + C₂e^m2X

Ejercicio:

d²y / dx² – 10 dy / dx + 25y = 0  

Convertir a ecuación polinómica

m² – 10m + 25 = 0

Se dan los valores de a, b y c de la formula cuadrática

a= 1       b= -10   c=25

Se resuelve la formula cuadrática con los valores

X = - ((-10) ± √ (-10)² – 4 (1) (25)) / 2 (1)

X₁ = (10 ± 0) / 2

Se resuelven las dos X´s

X₁ = (5 + 7) / 4 = 5

X2 = (5 - 7) / 4 = 5

Se sustituye en la fórmula del caso 2:

Y = C₁ e^5x + C₂e^5X             Solución general

Caso3: Cuando las raíces son números imaginarios

En un valor imaginario la parte real se representa por la letra “α” y la parte imaginaria por la letra “β”, matemáticamente se representa utilizando las siguientes expresiones.

                                                         m₁ = α + i β         m₂ = α - i β

Y = C₁ e^(α+iβ)X  + C₂ e^(α-iβ)X

Y = e ^αX(C₁ cosβX + C₂ senβX)

Ejercicio:

Y´´+y´+y=0

Convertir a ecuación polinómica

m² + m + 1 = 0

Se dan los valores de a, b y c de la formula cuadrática

a= 1       b= 1       c=1

Se resuelve la formula cuadrática con los valores

X = ((-1) ± √ (1)² – 4 (1) (1)) / 2 (1)

X₁ = (-1 ± √-3) / 2

Se identifica α y β

- 1/2  ±  √3/2 i  

    α             β

Se colocan los datos en la ecuación del caso 3:

Y = e ^-1/2X(C₁ cos √3/2 X + C₂ sen √3/2 X) Solución general