ECUACIONES DE BERNOULLI

Una ecuación diferencial de Bernoulli se resuelve mediante la sustitución de un factor “w” que es el inverso de la variable dependiente una ecuación diferencial de Bernoulli se conforma con la siguiente estructura:

                                                                              dy/dx + p(x) y = q (x) yⁿ 

Siendo n un exponente no una derivada

Para su resolución se debe convertir la ecuación en una ecuación lineal modificando la variable dependiente al sustituir la siguiente expresión.

                                                                   dw/dx + (1 - n)  p (x) w = (1 - n) q (x)  

Para representar el resultado se debe sustituir nuevamente el valor del factor “w” encontrando así la ecuación general.

Ejercicio:

Grafique la ecuación particular cuando y (1)=3 y cuando pasa por el punto  (2,2) de la ecuación.

Y´+ y / x = Xy²

   

Y´+ y / x = Xy²

N=2

1-n=-1

Se sustituyen los valores y se resuelve la operación

dw/dx + (-1) (1 / x) w = -1x 

dw/dx - 1/x w = -X

Se saca a M

M = e^∫p(x)dx = e^-lnX = X^-1 = 1/x

x^-1 dw/dx – x^-1 w (1/x) = -X * X^-1 = -x/x = -1 

Se integran ambas partes

∫d/dx w * x^-1 = ∫ -1dx  

w * x^-1 = - x + c   

W = -x + c / x-1

W = -x / x-1 + c / x-1 = -x/-x2 + cx

W = -x2+cx

1/y = -x2+cx

Y = 1/-x2+cx            solución general

Solución particular:

Y (1)=3

C=(1/y + x2) /x = (1/3 + (1)2) /1 = 4/3

C=4/3

Y=1/(x2 + 4/3x)     solución particular

Graficar

x	Y=1/(x2 + 4/3x)
-3	-1/3
-2	- 3/20
-1	- 3/7
0	Ind
1	3
2	- 3/4
3	- 1/5

		3
					3
-3
			-3