ECUACIONES DIFERENCIALES HOMOGENIAS

Caso 1: Cuando las raíces son reales

Se sustituyen los valores de las raíces de manera directa en el exponente de la función, matemáticamente se expresa de la siguiente manera:

y = C₁ e^m1X + C₂e^m2X

Ejercicio:                                     

 

2y’’ – 5y’ – 3 y = 0

Convertir a ecuación polinómica

2m² – 5m – 3 y = 0

Se dan los valores de a, b y c de la formula cuadrática

a= 2       b= -5     c= -3

Se resuelve la formula cuadrática con los valores

X = - ((-5) ± √ (-5)² – 4 (2) (-3)) / 2 (2)

X = (5 ± 7) / 4

Se resuelven las dos X´s

X₁ = (5 +7) / 4 = 3

X₁ = (5 - 7) / 4 = -1/2

Se sustituye en la fórmula del caso 1:

Y = C₁ e^3x + C₂e^{-1/2 X}             Solución general

Caso 2: Cuando las raíces son iguales (m1 = m2)

En este caso se repite la raíz en cada potencia y se incrementa una variable independiente en cada término.

y = y = C₁ e^m1X + C₂e^m2X

Ejercicio:

d²y / dx² – 10 dy / dx + 25y = 0  

Convertir a ecuación polinómica

m² – 10m + 25 = 0

Se dan los valores de a, b y c de la formula cuadrática

a= 1       b= -10   c=25

Se resuelve la formula cuadrática con los valores

X = - ((-10) ± √ (-10)² – 4 (1) (25)) / 2 (1)

X₁ = (10 ± 0) / 2

Se resuelven las dos X´s

X₁ = (5 + 7) / 4 = 5

X2 = (5 - 7) / 4 = 5

Se sustituye en la fórmula del caso 2:

Y = C₁ e^5x + C₂e^5X             Solución general

Caso3: Cuando las raíces son números imaginarios

En un valor imaginario la parte real se representa por la letra “α” y la parte imaginaria por la letra “β”, matemáticamente se representa utilizando las siguientes expresiones.

                                                         m₁ = α + i β         m₂ = α - i β

Y = C₁ e^(α+iβ)X  + C₂ e^(α-iβ)X

Y = e ^αX(C₁ cosβX + C₂ senβX)

Ejercicio:

Y´´+y´+y=0

Convertir a ecuación polinómica

m² + m + 1 = 0

Se dan los valores de a, b y c de la formula cuadrática

a= 1       b= 1       c=1

Se resuelve la formula cuadrática con los valores

X = ((-1) ± √ (1)² – 4 (1) (1)) / 2 (1)

X₁ = (-1 ± √-3) / 2

Se identifica α y β

- 1/2  ±  √3/2 i  

    α             β

Se colocan los datos en la ecuación del caso 3:

Y = e ^-1/2X(C₁ cos √3/2 X + C₂ sen √3/2 X) Solución general